3D Simulation Models For Quantum Mechanical Effect

Quantum 3D는 반도체 소자에서 캐리어의 양자 구속 및 전송에 대한 여러가지 영향을 시뮬레이션하기 위해 모델 세트를 제공합니다. 슈뢰딩거-푸아송 솔버는 속박 상태(bound state) 에너지와 관련 캐리어 파동 함수를 정전기 전위로 일관되게 계산합니다. 슈뢰딩거 솔버는 Non-Equilibrium Green’s Function(이하 NEGF)과 결합하여, 강력한 횡단 구속으로 3D 소자에서 탄도성 양자 전송을 모델링합니다. 드리프트-확산 모드-공간 모델은 횡단 슈뢰딩거와 1D 드리프트-확산 방정식을 결합하여, 나노크기 소자의 서브밴드 전송을 모델링하기 위한 대안을 제시합니다. 양자 모멘트 전송 모델은 캐리어 전송에 대한 구속 효과를 시뮬레이션하면서, 전통적인 드리프트 확산 접근 방식의 단순함을 유지합니다. 또한, 양자 구속 효과를 에너지 밸런스/유체역학적 전송 모델에 포함합니다. 또한, Quantum 3D는 산화막 터널링 모델을 제공합니다.

슈뢰딩거-푸아송

양자 구속 효과를 모델링하기 위해, Quantum 3D는 1D/2D 슈뢰딩거 방정식과 3D 푸아송 방정식의 일관된 솔루션을 제공합니다. 고유 에너지(eigen energy)와 파동 함수로 양자 전자 밀도를 구하며, 이는 3D 푸아송 방정식과 연결됩니다. 예측-보정(predictor-corrector) 기법으로 고속 컨버전스를 달성합니다. real space 2D 슈뢰딩거 솔버 외에, 고속 product-space 솔버를 이용하여, 두 방향에서 1D 해로 이루어진 곱의 선형 조합으로 2D 파동 함수를 구합니다. 이 기법은 10배 정도 빠르므로, Atlas는 간단한 직사각형 구조로 대규모 소자를 시뮬레이션할 수 있습니다.

 


3D 구조 표면의 전자 파동 함수 분포. 3D 푸아송 방정식으로 1D(왼쪽), 2D(오른쪽) 슈뢰딩거 방정식을 일관되게 풀어서 구합니다.

 

NEGF 방식에 의한 탄도성 양자 전송

실리콘 나노선은 최근에 나노 크기의 MOSFET 채널에 적합하게 되었습니다. 나노선의 원통형 구조는 Surrounding Gate로 완벽한 정전 제어를 제공하여, 소자의 크기를 나노급으로 상당히 줄일 수 있게 합니다. 나노선 트랜지스터와 기타 구조에서 강력한 횡단 구속으로 전자 전송을 모델링하기 위해, Quantum3D는 NEGF(Non Equilibrium Green’s Function) 방식에 기초한 새로운 양자 메커니즘 모델을 제공합니다. 이것은 같은 조건에서 소스-드레인 터널링, 탄도성 전송, 양자 구속 등의 효과를 다룹니다. 새로운 NEGF 솔버는 Surround Gate MOSFET 등의 3D 소자에서 탄도성 양자 전송을 모델링할 수 있습니다. 소자의 횡단면에서 2D 슈뢰딩거 방정식을 풀어서, 고유 함수와 고유 에너지를 구하는 것으로 모델링을 시작합니다. 그 다음, 소스에서 드레인으로 전파하는 다양한 서브밴드(모드)에서 전자 밀도와 전류에 대해 NEGF 양자 전송 방정식을 풉니다. 일반적으로, CMS(Coupled Mode Space) 기법을 사용하여, 전자 모드의 혼합을 설명합니다. 간단한 단일 횡단면의 경우, 보다 빠른 UMS(Uncoupled Mode Space)기법을 사용할 수 있습니다.

 


3D 실리콘 나노선 FET의 소자 구조(왼쪽 위), 전체 전류 밀도의 등면(isosurface) 분포(오른쪽 위), 전자 밀도의 등면 분포(아래). 소스와 드레인 영역이 활성화되었으며, 결합 모드 공간 NEGF 방식으로 산출하였습니다.

 

실리콘 나노선 트랜지스터의 구조(왼쪽)와 I-V 특성(오른쪽). 단일 채널 단면을 가지며, 비결합 모드 공간 NEGF 방식으로 산출하였습니다.

 

드리프트-확산 모드-공간 (Drift-Diffusion Mode-Space, 이하 DDMS) 모델

DDMS 모델은 강력한 횡단 구속을 갖는 소자 내 전송에 대한 준고전적인 접근 방식으로서, 모드-공간 NEGF 접근 방식보다 간단한 대안입니다. 모드-공간 NEGF와 유사하게, 해를 횡단 방향에서 2D 슈뢰딩거 방정식으로 나누어, 각 서브밴드에서 1D 전송 방정식으로 분리합니다. 하지만, 이 모델에서는 양자 전송 방정식 대신 고전적인 드리프트-확산 방정식을 풉니다. 그러므로, 횡단 방향의 양자 효과를 포착하면서, 이동도, 재결합, 충격 이온화, 밴드-투-밴드 터널링에 익숙한 Atlas 모델을 모두 승계합니다. 또한, 고유 에너지, 캐리어 밀도, 전류, 준-페르미 준위, 생성-재결합율 등을 1D 서브밴드로 분석하여, 출력할 수 있습니다.


DDMS 모델로 산출한 FinFET(Lg=30nm, 폭=6nm, 두께=7nm)에서의 전자 밀도(왼쪽)와 전자 전류 밀도(오른쪽)의 등면 분포. 해당 2D 슈뢰딩거 방정식을 고속 product-space 솔버로 풀어서, 횡단면의 양자 효과를 정확하게 고려합니다.

 

FinFET의 드레인, 게이트 바이어스가 0.5V일 때, 다양한 전자 서브밴드의 고유 에너지(검정), 최저 전자 서브밴드의 준-페르미 준위(청색), 최고 정공 서브밴드의 준-페르미 준위(적색).
DDMS 모델로 산출한 FinFET의 Id-Vd 특성. 농도와 전기장에 종속적인 이동도 모델을 가정합니다.

 

Bohm Quantum Potential

Bohm Quantum Potential (이하 BQP) 모델은 위치에 종속적인 양자 전위로 고전적인 드리프트-확산 또는 유체역학적 계산을 수정하여, 양자 효과를 포함합니다. 이는 양자 메커니즘에 대한 Bohm 해석에서 파생되었지만, 두 개의 피팅 파라미터를 유지합니다. 이러한 유연성으로 모델을 슈뢰딩거-푸아송 계산으로 보정하여, 3D 모두에서 캐리어의 양자 성질에 근접할 수 있습니다. 그러면, 양자 구속 효과는 소자의 I-V 특성에 자연스럽게 포함될 것입니다.

BQP를 이용한 시뮬레이션에 사용된 전형적인 FinFet 소자 구조. -0.10V를 갖는 일정한 EBQP(Electron Bohm Quantum Potential)의 표면. 이는 전자 밀도를 상당히 감소시키며, 채널 주변 가까이에 위치합니다. 결과에 일치하는 컷플레인(cutplane)이 나타납니다.

 

FINFET 채널 중심부의 전자 농도. EBQP가 음의 값을 갖는 채널 가장자리 근처에서 전자 밀도는 감소하며, EBQP가 양의 값을 갖는 중심부에서 전자 밀도는 증가합니다.
FINFET에 대해 0.9V의 게이트 바이어스를 갖는 드레인 특성. BQP 모델을 사용하면, 양자 구속을 포함하지 않았을 때에 비하여, 드레인 전류가 감소합니다.

Rev. 110613_04