2D Simulation Models for Quantum Mechanical Effects

Quantum은 반도체 소자에서 캐리어의 양자 구속 및 전송에 대한 여러가지 영향을 시뮬레이션하기 위해 모델 세트를 제공합니다. 슈뢰딩거-푸아송 솔버는 속박 상태(bound state) 에너지와 관련 캐리어 파동 함수를 정전기 전위로 일관되게 계산합니다. 슈뢰딩거 솔버는 Non-Equilibrium Green’s Function(이하 NEGF)과 결합하여, 강력한 횡단 구속으로 2D 또는 원통형 소자에서 탄도성 양자 전송을 모델링합니다.

드리프트-확산 모드-공간 모델은 횡단 슈뢰딩거와 1D 드리프트-확산 방정식을 결합하여, 나노크기 소자의 서브밴드 전송을 모델링하기 위한 대안을 제시합니다. 양자 모멘트 전송 모델은 캐리어 전송에 대한 구속 효과를 시뮬레이션하면서, 전통적인 드리프트 확산 접근 방식의 단순함을 유지합니다. 또한, 양자 구속 효과를 에너지 밸런스/유체역학적 전송 모델에 포함합니다. 양자 우물 모델은 발광 소자에서 이득과 자발적인 재결합을 계산할 때 구속을 고려합니다. 또한, Quantum은 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 터널링 전류를 계산하는 논-로컬 터널링 모델을 가집니다. 이는 터널링 전류에 대한 양자 구속 효과를 선택적으로 포함할 수 있으며, 밴드-투-밴드(band-to-band)와 산화막 터널링(oxide tunneling)에 이용할 수 있습니다.

슈뢰딩거-푸아송

양자 구속 효과를 모델링하기 위해, Quantum은 슈뢰딩거-푸아송 방정식의 일관된 솔루션을 제공합니다. 슈뢰딩거 방정식을 1D/2D 또는 원통형 구조로 풀어서, 고유 에너지(eigen energy)와 파동 함수를 구합니다. 고유 에너지와 파동 함수로 양자 전자 밀도를 구하며, 이는 2D 푸아송 방정식과 연결됩니다. Quantum 2D는 동일한 사각형 또는 삼각형 메쉬에 대해 슈뢰딩거-푸아송 방정식을 풀거나, 독자적인 사각형 슈뢰딩거 메쉬를 생성하여, 푸아송 메쉬에 양자량을 넣을 수 있습니다. 예측-보정(predictor-corrector) 기법으로 고속 컨버전스를 달성합니다. real space 2D 슈뢰딩거 솔버 외에, 고속 product-space 솔버를 이용할 수 있습니다. 이것은 두 방향으로 1D 해의 곱을 선형 조합하여 2D 파동 함수를 구합니다. 계산 시간은 한 방향의 노드 수에 선형적으로 비례하며, 사각형에 가까운 구조로 대규모 소자를 시뮬레이션할 수 있습니다.

GaAs/ AlGaAs HEMT 소자의 게이트 아래에서 처음의 7개 속박 상태 에너지 준위와 전도대 가장자리의 전위 편차. AlGaAs 최상 레이어의 결핍에 따라, 전위 우물과 이종접합에 의한 속박을 확인할 수 있습니다. 위 그림은 처음의 7개 전자 파동 함수를 나타냅니다. 이러한 파동 함수는 7개의 최저 속박 상태 에너지와 일치합니다. AlGaAs 레이어의 게이트 바로 아래에서 결핍으로 생성된 전위 우물로 인해, 이종접합의 양 측면에서 최고치를 나타냅니다.
원통형 슈뢰딩거 솔버로 구한 전자 파동 함수의 방사 부분(왼쪽)과 해당 고유 에너지(오른쪽). 서로 다른 방사/궤도 양자수의 고유 상태는 전체 고유 에너지에 대해 정렬됩니다.



위 그림은 2V의 게이트 바이어스에서 일관된 양자 전자 밀도를 직사각형, 삼각형, 원통형 채널로 나타냅니다. 여기서, 실리콘 채널이 이방성 유효 질량, 알루미늄 게이트, 1nm 실리콘 산화막을 갖는다고 가정합니다. 삼각형 메쉬와 2D real space 슈뢰딩거 솔버를 사용하였습니다.

평면 내의 유효 질량 mx=my=mt=0.19m0과 평면 밖 질량 mz=me=0.91m0을 갖는 밸리에 대해 서라운드 게이트 트랜지스터의 10nm 지름 채널에서의 파동 함수 5041개의 그리드 포인트가 있는 메쉬에서 고속 product-space 2D 슈뢰딩거 솔버로 구한 1020cm-3로 도핑된 14X14 nm 직사각형 구조의 일관된 양자 전자 밀도.

 

NEGF 방식에 의한 탄도성 양자 전송

MOSFET을 나노미터 영역으로 축소할 때, 횡단/전송 양방향의 양자 효과는 소자 특성을 결정하기 시작합니다. 이를 설명하기 위해, 실바코는 NEGF(Non Equilibrium Green’s Function) 방식에 기초한 새로운 양자 메커니즘 모델을 전개하였습니다. 이것은 같은 조건에서 소스-드레인 터널링, 탄도성 전송, 양자 구속 등의 효과를 다룹니다. 새로운 NEGF 솔버는 직사각형이나 원통형 구조를 사용하여, 더블 게이트나 서라운드 게이트 MOSFET 등의 소자에서 탄도성 양자 전송을 모델링하는데 적합합니다. 소자의 횡단면에서 1D 슈뢰딩거 방정식을 풀어서, 고유 함수와 고유 에너지를 구하는 것으로 모델링을 시작합니다. 그 다음, 소스에서 드레인으로 전파하는 다양한 서브밴드(모드)에서 전자 밀도와 전류에 대해 NEGF 양자 전송 방정식을 풉니다. 일반적으로, CMS(Coupled Mode Space) 기법을 사용하여, 전자 모드의 혼합을 설명합니다. 보다 간단한 단일 횡단면의 경우, UMS(Uncoupled Mode Space)기법을 사용할 수 있습니다. NEGF 시뮬레이션은 일반적인 전류-전압 특성 및 일관된 양자 전자, 전류 밀도를 제공합니다. 또한, 전달 계수, 상태의 지역 밀도, 단위 에너지에 대한 전자/전류 밀도처럼 에너지에 강력하게 의존하는 물리량에 의해, 소자 물리학에 대한 식견을 제공합니다.

횡단/전송 방향으로 전자의 양자 성질을 설명합니다.

급격한 채널 접근 구조에 의해, 소스와 드레인 확장 영역에서 전류가 증가합니다.

g=1V일 때 더블 게이트 트랜지스터에서 2D로 표현한 일관된
전자 밀도(왼쪽)와 전류 흐름(오른쪽)

 

다양한 게이트 바이어스에 대해 더블 게이트 트랜지스터의 전송 방향에 따라 좌표 함수로 표현한 전자 밀도(왼쪽)와 전도대(오른쪽).
NEGF방식으로 계산한 탄도성 DGT의 Id-Vg(왼쪽)과 Id-Vd(오른쪽) 특성. 탄도성 전송이라고 가정하였으므로, 계산된 전류는 특정 소자에 대해 상한을 제공합니다.

 

탄도성 더블 게이트 트랜지스터의 전달 계수(왼쪽), 전류 스펙트럼(가운데), 상태 밀도(오른쪽). (a)각각의 전달 계수는 전송에 사용할 수 있는 별도의 전자 서브밴드와 일치합니다. (b)최저 서브밴드는 전류에 가장 크게 공헌합니다. (c)소스 확장 영역에서 상태 밀도의 진동 특성은 주입 장벽에서의 전자 반사에 기인합니다.

 

드리프트-확산 모드-공간 (Drift-Diffusion Mode-Space, 이하 DDMS) 모델

DDMS 모델은 강력한 횡단 구속을 갖는 소자 내 전송에 대한 준고전적인 접근 방식으로서, 모드-공간 NEGF 접근 방식보다 간단한 대안입니다. 모드-공간 NEGF와 유사하게, 해를 횡단 방향에서 1D 또는 원통형 슈뢰딩거 방정식으로 나누어, 각 서브밴드에서 1D 전송 방정식으로 분리합니다. 하지만, 이 모델에서는 양자 전송 방정식 대신 고전적인 드리프트-확산 방정식을 풉니다. 그러므로, 횡단 방향의 양자 효과를 포착하면서, 이동도, 재결합, 충격 이온화, 밴드-투-밴드 터널링에 익숙한 Atlas 모델을 모두 승계합니다.

Lg=30nm, 바디 두께 t=2nm인 더블 게이트 FET에서 DDMS로 계산한 전류 흐름을 나타냅니다. 트랩 재결합(SRH), 밴드-투-밴드 터널링(BBT), 충격 이온화가 있을 때, 각 서브밴드에서 1D 드리프트-확산 방정식을 풉니다. 전자-정공 쌍의 생성에 따라, 전류 밀도는 채널 끝에서 증가합니다.

 


위 그림은 생성-재결합 메커니즘을 갖거나(녹색), 갖지 않을 때(적색)의 전자(왼쪽), 정공(가운데) 캐리어 밀도와 최저 전자 서브밴드 에너지를 나타냅니다. 전자-정공 쌍이 생성되면, 전자 농도(왼쪽)는 소폭 증가하고, 정공 농도(가운데)는 대폭 증가하여 채널에 축적됩니다. 축적된 전하는 문턱 전압을 바꾸어, 전자에 대한 소스 주입 장벽을 낮춥니다(오른쪽).

 

DDMS로 산출한 드레인 전류-드레인 전압 특성. 생성-재결합을 무시할 때와 비교하여(왼쪽), BBT 및 충격 이온화가 있을 때, 플로팅 바디 효과는 강렬하며, 포화는 불충분합니다.

 

밴드-투 밴드 양자 터널링 모델

Quantum은 반도체의 밴드-투-밴드 터널링을 계산할 수 있습니다. 트랩에 의한(trap assisted) 성분과 직접적인(direct) 성분을 모두 계산할 수 있습니다. 로컬 또는 논-로컬 모델로 직접적인 성분을 계산합니다. 로컬 모델에서, 각 지점의 전기장은 전자-정공 쌍을 생성하는데 이용합니다. 논-로컬 모델은 터널링이 가능한 각 에너지에 대해 터널링 전류를 계산하므로 보다 복잡합니다. 게다가, 캐리어의 소스(역 바이어스)와 싱크(순 바이어스)는 소자에서 공간적으로 정확하게 분리된 지점에서 발생합니다. 다음 그림은 논-로컬 모델로 계산한 터널 다이오드의 순방향 전류를 나타냅니다.

변형 도핑된 p-n구조의 Hg0.78 Cd0.22 Te로 구성된 터널 다이오드에 대한 전류-전압 곡선. 물질 밴드갭은 116 meV, 소자 온도는 80K입니다. 터널 다이오드에 대한 전도대(Ec)와 가전자대(Ev) 에너지 분포와 위치. 최대 터널링 전류에 대응하는 양극 바이어스는 0.015V.

 

터널 다이오드에 대한 전자 싱크(n-형 물질)과 정공 싱크(p-형 물질). 양극 바이어스는 0.015V.

 

산화막 터널링 모델

Quantum은 반도체 채널로부터 산화막을 통한 터널링을 계산하기 위한 모델을 제공합니다. 가장 복잡한 모델은 전송 행렬 기법으로 터널링 경로를 따라 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 에너지에 대해 적분합니다. 여기에 슈뢰딩거 방정식의 해를 결합하여, 선택적으로 채널의 양자 효과를 포함할 수 있습니다. 오른쪽 그림은 복잡한 모델로 계산한 터널링 전류의 예를 나타냅니다. Fowler-Nordheim 모델의 결과와 비교됩니다.

액셉터로 도핑된 채널과 2nm 두께의 산화막을 갖는 MOS 캐패시터에 대한 터널링 전류와 게이트 전압. Fowler-Nordheim 전류는 높은 바이어스에서 직접적인 터널 전류에 부합합니다. 채널 양자화를 갖는 직접적인 터널 전류가 높은 바이어스에서 현저하게 표현됩니다. 양자화에 의한 전하의 중심 이동은 전류를 높이는 주요 요인입니다.

 

양자 모멘트 전송 모델

Quantum은 준고전적인 드리프트-확산 및 유체역학적 캐리어 전송 계산에서 양자 구속 효과를 포함하는 모델을 제공합니다. BQP(Bohm Quantum Potential) 모델은 양자 메커니즘에 대한 Bohm 해석에서 파생된 보조 방정식으로, 위치에 종속적인 위치 에너지 조건을 계산합니다. 이 위치 에너지는 전자/정공 분포를 조정합니다. 모델은 경험적인 결론을 보존하지만, 순수 물리학에서 파생되었으며, 두 개의 파라미터를 갖습니다. 이러한 유연성에 의해, 모델은 상이한 물질과 소자의 양자 성질에 접근합니다. 무시할 수 있는 전류 흐름에서 슈뢰딩거-푸아송 결과와 BQP 사이에 근접한 일치를 얻을 수 있습니다. 이후 I-V특성을 포함하여, 소자 퍼포먼스에 대한 양자 구속 효과를 상당히 근사하게 계산할 것입니다.

2nm 두께의 산화막을 갖는 NMOS 소자에서 게이트 아래의 전자 농도. 2V 바이어스를 인가하여, 소자를 강하게 반전시킵니다. BQP 모델에 대한 파라미터를 잘 선택하면, BQP 곡선을 S-P 곡선에 보다 가깝게 할 수 있습니다. NMOS가 반전되면, 전체 전하는 게이트 전압과 함께 증가합니다. BQP와 S-P 값은 유사하며, BQP 모델에 대해 파라미터를 적절히 선택하여, S-P 곡선에 가깝게 만들 수 있습니다.

 

NMOS 소자에 대한 준-정적 게이트 캐패시턴스와 게이트 전압. BQP, S-P 모델로 양자 구속에 따른 반전에 대해 문턱 전압을 정확하게 예측합니다. 위 그림에서, 전자에 대한 양자 효과만 포함됩니다. HEMT 구조에서 고전 모델, BQP 모델, S-P 모델에 의해 계산한 AlGaAs/GaAs 인터페이스 근처의 전자 밀도
0.5V의 드레인 바이어스를 갖는 HEMT 구조에 대한 드레인 전류와 게이트 바이어스. 이 경우, 양자 구속은 사용된 특정 이동도 모델에 의존하지만, 결과적으로 드레인 전류를 감소시킵니다. 채널에 수직인 선을 따라 HEMT 구조에 대한 래터럴 전류 밀도(채널에 평행). 드레인 바이어스 및 게이트 바이어스는 각각 0.5V. 양자 모델과 AlGaAs의 평형 전도 경로는 채널의 전류 밀도를 균일하게 합니다.

 

소스와 드레인 중간에서 폭이 3nm인 채널 단면의 전자 밀도. 게이트 바이어스, 드레인 바이어스는 각각 0.5V, 단면에서의 캐리어 온도는 약 630K입니다. 양자 구속 효과가 나타납니다. 게이트 바이어스 및 드레인 바이어스가 각각 0.5V일 때, 더블 게이트 MOSFET에 대한 전도 전류 밀도. 사용된 모델은 에너지 밸런스를 갖는 Bohm Quantum Potential입니다. 양자 구속 효과에 의해 채널 중심부 근처에 전류가 집중되었습니다.

 

더블 게이트 MOSFET 구조에 대해 에너지 밸런스 모델을 이용하여 구한 전자 온도. 소스와 드레인 사이의 소자를 따라 구한 분포로서, 이전 그림의 단면에 수직입니다. 고전적인 모델 및 Bohm Quantum Potential 모델의 결과는 캐리어 분포의 커다란 변화에도 불구하고, 온도 분포에서 단지 미세한 차이만을 나타냅니다.

 

Rev. 110113_08